Scacco alla Regina

SCACCO ALLA REGINA (DELLE SCIENZE)

“Ma guarda, è segnata proprio come una grande scacchiera!” disse infine Alice. “Mancano solo degli uomini che si muovano, da qualche parte… ma ci sono!” aggiunse giuliva, e il cuore cominciò a batterle di eccitazione via via che continuava. “E’ un’enorme partita a scacchi questa che giocano… in tutto il mondo… sempre che questo sia il mondo. Oh, che divertimento! Come vorrei essere una di loro! Non mi dispiacerebbe fare la pedina, se solo potessi raggiungerli… benché naturalmente più di tutto mi piacerebbe essere una Regina.”

Lewis Carroll
Attraverso lo specchio e quel che Alice vi trovò (1871)

La vita è un gioco estremamente complesso, le cui regole sono le leggi naturali e sociali, e le cui mosse sono i possibili comportamenti legali individuali e collettivi. Un gioco sufficientemente complicato può dunque diventare una metafora della vita: questo è appunto il caso degli scacchi, la cui struttura è abbastanza elaborata da permettere alla metafora di non essere banale, e di rispecchiare aspetti significativi della vita stessa.

Gli psicoanalisti hanno ad esempio rilevato come un gioco il cui scopo è lo scacco al re, il pezzo più importante e allo stesso tempo più vulnerabile, sia un'evidente immagine del conflitto edipico secondo cui l'avvicendamento generazionale passa attraverso una soppressione violenta del padre: il che spiegherebbe sia lo scarso interesse per il gioco da parte delle donne, che il carattere di violenza a stento sublimata che esso può assumere per i giocatori maschi. Di quest'ultimo sono testimonianza lo stesso termine "scacco matto", che deriva dal persiano shah-mat e significa "il re è morto", e l'affermazione del campione del mondo Garry Kasparov, secondo cui "gli scacchi sono lo sport più violento che esista".

I matematici hanno invece osservato come un gioco basato su un numero finito di regole precise, che permettono di evolvere configurazioni iniziali di apertura in configurazioni finali di scacco matto, sia profondamente affine alla matematica stessa, in cui un numero finito di regole logiche permette di produrre teoremi a partire da assiomi: il profondo interesse per il gioco da parte dei matematici è testimoniato ad esempio dalla scacchiera e dai pezzi giganti situati nella hall del centro di Oberwolfach in Germania, dove i convegni matematici si susseguono ad un incessante ritmo settimanale.

Gli informatici hanno infine esteso la metafora dalla matematica all'intera attività razionale, immaginando che programmare un computer per farlo giocare a scacchi, per dimostrare teoremi, o per prendere decisioni fossero non solo problemi dello stesso ordine di difficoltà, ma addirittura lo stesso problema: in tal modo la programmazione degli scacchi divenne inestricabilmente legata agli obiettivi e alle realizzazioni dell'Intelligenza Artificiale.

Lasciando agli psicoanalisti il loro lavoro, getteremo qui uno sguardo agli scacchi dal punto di vista del matematico e dell'informatico, testimoniando forse ulteriormente un'osservazione di Goethe, secondo il quale "i matematici sono come i francesi: se si dice loro qualcosa la traducono nel proprio linguaggio, ed essa appare subito diversa".

1. LA SCACCHIERA

La scacchiera era in origine l'immagine di una rete che imprigionava l'universo, e fungeva da oracolo: vi si lanciavano sassi o si muovevano pedine secondo il responso dei dadi, e la risposta era positiva o negativa a seconda del colore delle caselle in cui si finiva.

La scacchiera classica consiste di un quadrato diviso in 64 caselle, di colore bianco e nero alternato (la casella nell'angolo Sud-Ovest è nera), in cui si pongono i pezzi. Ovviamente, da un punto di vista matematico essa è soltanto un caso particolare di scacchiera n x n o, ancora più generalmente, n x m: i problemi considerati nel seguito ammettono dunque un gran numero di variazioni, di solito di soluzione tanto più difficile quanto maggiori sono le dimensioni.

2. L'ARITMETICA DELLA SCACCHIERA

Il primo problema sollevato dalla scacchiera è l'esplosione esponenziale che si ottiene da un numero di raddoppi pari a quello delle caselle, cioè 264

La percezione dell'enormità di questo numero lo fece usare nei secoli, dalla descrizione dantesca (Paradiso, XXVIII, 92-93) delle luci del cielo, le quali

eran tante, che 'l numero loro

più che 'l doppiar de li scacchi s'immilla,

alla leggenda che vuole l'inventore degli scacchi chiedere al sultano un chicco di grano sulla prima casella, due chicchi sulla seconda, quattro sulla terza e così via, e cioè:

1 + 2 + 22 + ... + 263

= 264 - 1

= 18.446.744.073.709.551.615

circa 18 miliardi di miliardi di chicchi (una quantità di grano tale che non sarebbero bastati tutti i granai del regno per contenerla).

Ottenne invece l'esecuzione capitale (il sultano era generoso, ma non spiritoso).

In termini più prosaici e moderni, ripiegare un foglio di carta su se stesso per 64 volte significherebbe formare una pila alta circa 70 volte la distanza dalla terra al sole: lo spessore di un foglio è infatti un decimo di millimetro, la terra dista dal sole 150 milioni di chilometri, e 264 è circa 1017

3. LE PARTITE DI SCACCHI

Giocare bene è relativamente facile, basta considerare una sola mossa propria, la migliore, e prevedere una sola mossa dell'avversario, quella che egli farà. Scherzi a parte, sembra però che i campioni non si discostino molto dal consiglio precedente, e considerino in genere solo 2 o 3 possibili mosse alternative, che analizzano in dettaglio. I programmi per computer fanno invece esattamente l'opposto, e sono ormai arrivati a considerare milioni di mosse ad ogni passo. I matematici, infine, si sono addirittura spinti a considerare tutte le possibilità!

4. L'ARITMETICA DELLE PARTITE DI SCACCHI

Le possibili aperture sono 20 per ciascun giocatore: 2 mosse possibili per ciascuno degli 8 pedoni (che possono avanzare di una o due caselle), e 2 per ciascuno dei 2 cavalli. Le mosse successive sono in genere di più, perchè alcuni pezzi sono stati liberati: ma anche limitandosi a 20, dopo sole 10 mosse da entrambe le parti si arriva già alla astronomica cifra di:

40010 = 169.518.829.100.544.000.000.000

circa 1023

Il numero massimo di mosse, quando tutti i pezzi sono ancora sulla scacchiera, si ottiene sommando il numero massimo di mosse per ciascun pezzo (cioè 8 per il re, 27 per la regina, 14 per la torre, 13 per l'alfiere, 8 per il cavallo, e 2 per il pedone) per il numero di pezzi:

8 + 27 + (14 ×2) + (13 ×2) + (8 ×2) + (2 ×8) = 111

Analogamente il numero medio di mosse, quando tutti i pezzi sono ancora sulla scacchiera, si ottiene sommando il numero medio di mosse per ciascun pezzo (cioè 6,5 per il re, 22,5 per la regina, 14 per la torre, 8,5 per l'alfiere, 5 per il cavallo, e 1 per il pedone) per il numero di pezzi:

7 + 22,5 + (14 ×2) + (8,5 ×2) + (5 ×2) + (1 ×8) = 92,5

In pratica il numero sarà però inferiore, a causa della mancanza di alcuni pezzi o all'occlusione di altri, e una valutazione empirica del numero medio di mosse disponibili durante una partita standard è di circa 40.

Un limite assoluto al numero di configurazioni che si possono ottenere sulla scacchiera è ovviamente dato dal numero di possibili disposizioni dei 32 pezzi sulle 64 caselle della scacchiera, cioè:

6432 circa 1057

Esso pone un limite alla lunghezza delle possibili partite, perchè quando due configurazioni si ripetono esattamente, ciò che è successo nel frattempo non ha più importanza. Il numero delle possibili partite è dunque limitato da:

Anche considerando solo partite più ragionevoli, di 100 mosse e con una media di 40 mosse possibili ogni volta, si ottiene comunque ancora un limite di:

10040 = 1080

pari al numero di particelle dell'universo.

Avete capito ora perchè è praticamente impossibile che si ripeta la stessa partita? Buona partita a tutti!

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